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Xonc [903669] · MS 2019 · 쪽지

2020-03-09 15:25:28
조회수 4,705

부정방정식 질문입니다.

게시글 주소: https://susi.orbi.kr/00028363375

문제)두 정수 a, b에 대하여 x에 대한 이차식 x^2+(3a+1)x+2a^2-b^2이 완전제곱식이 되도록 하는 a, b의 순서쌍 (a,b)의 개수는?

-시발점 수학(상)

저는 이 문제를 풀때, 완전제곱식이 되려면 '2a^2-b^2'이 일차항의 계수의 반의 제곱이 되어야 한다는 성질을 이용해서 풀었습니다.

현우진 선생님께서는 위의 이차식이 완전제곱식이라면 ( )^2 형태이므로 ( )^2=0이라고 치면, 중근을 가질거니까 '판별식=0' 이라고 두고 푸셨습니다.

현우진 선생님의 풀이가 이해가 조금 안되ㅅ qna로도 질문드려봤지만 돌아온 답변은 '가정일뿐이다'라는 것이였습니다.

제가 궁금한 점은, 어떻게 =0이라고 가정하고 풀 수 있는지 입니다.

혼자서 이걸 이해해보려고 함수로 생각해봤습니다. y=위의 이차식 꼴의 이차함수를 말이죠.

그리고, 이차함수의 함숫값이 0인 경우를 생각해보니까, 현우진 선생님 풀이대로 풀어도 문제가 없다고 느껴집니다만, 이차함수가 x축과 만나지 않을 때도 있기 때문에 헷갈립니다...


명확하게 설명해주실 분 계신가요??

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Xonc [903669]

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  • psycho · 722716 · 20/03/09 15:32 · MS 2016 (수정됨)

    판별식을 쓰는 것은 방정식이라고 가정한 다음에 계산하는 거고요, 그래프를 이용해서 함수로 나타내는 것 역시 좌표평면상에서 y=0 (다른 말로 x축)과의 교점이 하나만 (실근은 2개, 서로 다른 실근은 1개(일명 중근)) 나오도록 만드는 겁니다. 둘 다 일종의 가정(if)입니다... 잘못 푼 것은 아니고요...
    님이 접근한 이 식이 완전제곱식이 되려면 2차에서 1차항 계수의 절반의 제곱이 상수항의 제곱이 되는 형태로 푸는 것은 가정없이 가장 authentic하게 접근한 겁니다... 역시 이 풀이만 맞는 것도 아니고요...
    수학은 관점에 따라서 자유롭게 변신할 수 있어야 합니다. 단, 그 변신이 논리적으로 잘못된 것이 없다는 전제 하에서요...

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  • Xonc · 903669 · 20/03/09 15:48 · MS 2019

    그런데 위의 이차식이 0이라는 값을 가질 수 없다면, 가정이 정당하지 않은 것 아닌가요?

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  • psycho · 722716 · 20/03/09 15:49 · MS 2016 (수정됨)

    가정이 정당하지 않은게 아니고요 완전제곱형태가 불가능하다는 결론이 나오겠죠... 실수체에서요...

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  • Xonc · 903669 · 20/03/09 15:51 · MS 2019

    방정식 꼴에서 완전제곱형태 말씀하시는 거죠?
    ( )^2=0 이 꼴이요.

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  • psycho · 722716 · 20/03/09 15:54 · MS 2016

    예... 미지수가 포함된 방정식이라면 복소수체에서 따질 때에는 무조건 2차방정식의 근 2개는 존재하지만 실수체에서만 따지는 경우라면 있을수도 있고 없을수도 있습니다...

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  • Xonc · 903669 · 20/03/09 15:57 · MS 2019

    이렇게 가정해서 푸는걸 처음봐서 그런지... 익숙하지도 않고 별로 와닿지가 않네요ㅜ

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  • Xonc · 903669 · 20/03/09 15:59 · MS 2019

    아직도 이해가 안되요

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  • psycho · 722716 · 20/03/09 16:02 · MS 2016

    수학 기법상 가장 광범위한게 행렬하고 방정식입니다... 식에서 성립하는 거면 방정식에서도 성립합니다. 방정식에서 성립한다고 식에서 성립하는 것은 아니고요... 이 말인즉슨 식에서 성립안하는 것처럼 보여도 방정식으로 놓고 보면 성립하는 경우도 존재합니다...

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  • Xonc · 903669 · 20/03/09 16:05 · MS 2019

    저 위에서 0을 가질 수 없을때는 완전제곱형태가 될 수 없다고 말씀하셨는데, 그렇다면 판별식=0을 활용할 수 없는 것이 아닌지요?

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  • psycho · 722716 · 20/03/09 16:09 · MS 2016

    x^2 + 2ax + a^2-2a 이런 식이 있다고 하고 이게 완전제곱식이 되려면
    1차항의 계수 절반의 제곱인 a^2 = a^2-2a이면 되겠죠... 그럼 a=0이 나오고 본식은 그냥 x^2이니까 성립합니다. 그런데 a가 0이 아니면 본식을 완전제곱식으로 만드는 a는 존재하지 않는거죠... 즉, 방정식으로 놓고 판별식을 쓰나 그냥 완전제곱꼴 변형을 하나 차이가 없다는 겁니다...

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  • Xonc · 903669 · 20/03/09 16:18 · MS 2019

    이제서야 생각이 났는데, 완전제곱식은 무조건 0이라는 값을 가지게 되있네요!
    예를 들어 (x-a)^2이라는 식은 x=a일때 0을 가지듯이 말이에요.

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