피적분변수에 관한 부정적분과 정적분에 차이 정말 도와주시면 감사합니다!감사합니다!

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저기 진심으로 잘 아시는 분들이 이 무지한 영혼을 도와주셨으면 좋겠습니다

앞으로 읽어주실 것 진심으로 감사드려요.

부정적분은 피적분변수를 바꾸면 서로 달라지고 정적분을 같은 값을 갖는다는 것은 자주 나오는 것이 잖아요?
근데 정적분 것은 확실히 이해가 가는데 제가 함수라는 걸 잘 이해하지 못 한건지 부정적분에 경우는 잘 모르겠네요?
예를 들어, f(x)=x+2의 부정적분하고 f(t)=t+2를 각각 적분했을 때 나온 부정적분의 모양을 동일하잖아요?
1/2x^2+2x+C=1/2t^2+2t+C라는 식이 성립하지 못하는 이유가 뭔가요?
x와 t는 말 그대로 값이 변할 수 있는 변수이기 때문에 꼴이 같을 때 변수가 달라졌다고 해서 다른 함수가 되나요??

답변하실 때 예를 들어 주시면 정말 감사하겠습니다.
부탁하는 입장에서 염치없지만 꼭 부탁하겠습니다. 제가 부족해서인지 말로 그냥 설명해주신 것은 잘 이해가 안 되어서요..
항상 따뜻한 나날 보내세요!!

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fishedgrill [288250]

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sos440 · 104180 · 12/09/03 11:46 · MS 2005

질문자께서 생각하시는 것보다는 훨씬 더 간단한 이유입니다.

함수 f 를 하나 생각하고, 서로 무관한 두 변수 x, y를 생각했을 때, f(x) = f(y) 냐고 물으면, 당연히 아니지요. 마치 f(1) = f(2) 냐고 묻는 것과 거의 같은 이유에서 주어진 등식은 성립하지 않습니다.

물론, 함수로써 둘은 같습니다. 함수라는 대상 역시 변수 자체에 의존하지 않는 개념이거든요.

p.s. 부정적분의 경우, 단순한 하나의 함수가 아니라 (적분상수만큼 차이나는) 함수들의 모임을 가리킵니다.

따라서 부정적분의 상등은 사실 함수의 상등과는 살짝 다른 개념입니다만, 굳이 고등학교 범위에서 이런 내용을 신경쓰실 필요는 없으리라 생각됩니다.

사실, 부정적분 중 적절한 녀석들을 골라 함수로써 같아지면, 두 부정적분은 같은 것이니까 둘이 별로 다른 말도 아니지요.

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fishedgrill · 288250 · 12/09/03 14:08 · MS 2009

sos44님 어김없이 답변부탁드려요!!

근데 제가 너무 모자라서 그런지 모르겠지만 이해가 안되네요..ㅜㅜ
사소한 것에 매달리는 것 같아도 제발 꼭 좀 도와주시면 감사하겠습니다.
함수 f를 하나 생각하고 서로 무관한 두 변수 x, t를 생각했을때 f(x)=f(t)가 당연히 아니라는 게 납득이 안되네요...이게 납득이 안되서 제가 이런 글도 올리게 된 거구요.

답변 기다리겠습니다 정말 진심으로 감사드려요!!

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sos440 · 104180 · 12/09/03 14:16 · MS 2005

주어진 등식은 양쪽의 함수를 비교하는 것이 아닙니다. 함수를 각각 x라는 지점과 t라는 지점에서 계산한 값을 비교하는 것이지요. 따라서 x와 t의 값이 서로 다르면 양쪽은 일반적으로 다른 값이 됩니다.

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fishedgrill · 288250 · 12/09/03 14:25 · MS 2009

그렇다면 x와 t는 상수라는 말인가요? x와 t가 변수라는 것은 어떤 정해진 위치가 없다는 뜻 아닌가요??

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sos440 · 104180 · 12/09/03 14:49 · MS 2005

아뇨, x와 t는 변수이지만, 서로 다른 값을 가질 수 있는 변수입니다. 그렇기에 등식이 성립하지 않을 수 있다는 것이지요.

아마 질문자께서는 f(x) = f(t) 라는 식은, 왼쪽도 x라는 변수에 대한 함수 f의 식이고, 오른쪽도 변수 t에 대한 함수 f의 식이니, 양쪽 모두 함수 f를 가리키기 때문에 서로 같은 것이 아니냐 하고 생각하시는 것 같습니다.

하지만 위 등식은 '함수로서의 등식'이 아니라 '함수값으로서의 등식'입니다. 때문에 x와 t가 다르면 주어진 일반적으로 식은 성립하지 않습니다.

(물론 f가 상수함수같은 특수한 케이스는 예외적으로 성립하겠지만, 이런 걸 묻는 건 아니겠지요?)

사실 고등학교 때에는 함수 자체도 f(x)와 같은 형태로 적는 경우가 많고, 또 'y = f(x) 라는 함수' 라는 표현도 자주 등장하기 때문에, 함수와 그 함수의 값, 그리고 함수의 그래프라는 세 개의 개념이 마치 서로 같은 것인 양 섞여있는 경우가 많습니다.

물론 결국 서로 왔다갔다할 수 있는 개념이긴 하지만, 엄밀히 이들은 서로 다른 개념입니다. 함수는 말 그대로 함수라는 수학적 대상이고, 함수값은 어떤 지점에서 함수를 계산한 결과식이며, 그래프는 (x, f(x)) 꼴의 점들을 모두 모은 집합입니다.

따라서 엄밀히 말하면, f(x)라는 식은 함수 그 자체가 아니라 함수가 x라는 지점 (물론 x 자체는 변수일 수 있습니다) 에서 계산된 결과를 나타내는 식이고, 질문하신 내용 역시 이에 맞추어 생각하셔야 할 것입니다.

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fishedgrill · 288250 · 12/09/03 15:51 · MS 2009

아 이해가 되었어요!!!
드디어 마음이 탁 트이네요!! 정말 감사합니다!!!
몸이 아픈 건 아니지만 마음이 탁 막혀있었는데 절 고쳐주셔서 정말 정말 감사드립니다!! 그리고 무엇보다도 제 일인데도 귀찮음을 마다하고 도와주셔서 진심으로 정말 정말 감사드립니다!!항상 행복하세요!!♡

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