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이과지방치 [410085] · 쪽지

2012-10-11 22:19:56
조회수 458

탱탱님 문제보고 갑자기 생각난 궁금점

게시글 주소: https://susi.orbi.kr/0003116371

공간에서

평면의 방정식의 법선벡터를 (a,b,c)라 하고

직선의 방향벡터를 (d,e,f)라고 하면

a,b,c의 양음과 d,e,f의 양 음 부호로

평면과 직선이 공간상의 어느방향에 위치해 있는지

대략 알수 있나요??

그니까 예를 들면 평면의 법선벡터가 x>0, y>0, z<0의 방향으로 향한다던가

직선이 공간상의 어느곳을 향해서 그려지는지요.

궁금해지네요.

그리고 이 개형을 활용한 기출문제가 있나요??

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이과지방치 [410085]

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  • 히융히융 · 394705 · 12/10/11 23:55 · MS 2011

    직선과 평면이 이루는 각의 크기는 알 수 있지만..
    법선벡터와 방향벡터는 말 그대로 향하는 방향만 알려주는 것이기 때문에 공간 좌표의 8개의 공간 중 어디에 위치하는지는 알 수 없습니다

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  • 히융히융 · 394705 · 12/10/11 23:59 · MS 2011

    아, 법선 및 방향벡터가 있으면
    8개의 구역 중에서 평면 또는 직선이 지나는 구역의 개수가 최대 몇 개인지, 최소 몇 개인지는 알 수 있겠네요
    그걸로 문제 만들면 재미있을 거 같아요 ㅎㅎ

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  • 이과지방치 · 410085 · 12/10/12 00:01

    한 점이 주어진다면 거의 정확한 그림도 그릴수 있지 않을까요?

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  • 히융히융 · 394705 · 12/10/12 00:04 · MS 2011

    한 점이 주어지면 완전한 형태의 직선과 평면을 얻을 수 있죠 ㅎㅎ
    직선을 정의하는 방법은 1. 두 점을 준다 2. 한 점과 방향벡터를 준다
    평면을 정의하는 방법은 1. 세 점을 준다 2. 한 점과 법선벡터를 준다
    니까, 점까지 주어지면 각각 2번의 정의에 따라서 정확하게 구해집니다

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  • 히융히융 · 394705 · 12/10/12 00:05 · MS 2011

    아 잘못 읽었어요 ㅋㅋ
    법선 및 방향 벡터의 부호만 주어진다구요?
    그러면 정확한 그림 못그립니다. 다만 평면 및 직선이 존재하는 범위는 구할 수 있겠네요

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  • 이과지방치 · 410085 · 12/10/12 00:13

    제가 궁금했던건

    실제 공도벡터 고난도문제를 풀때

    이렇게 평면이나 직선이 공간상의 8개부분중 대략
    어디를 지나게 되는지 상상해야될때가 오는데

    그때 써먹기위해서 여쭤본거에요.

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  • 히융히융 · 394705 · 12/10/12 00:24 · MS 2011

    제가 헛소리를 했나보네요 ㅋㅋ 죄송합니다 ;;
    알고싶어하시는 거랑 직접적으로 관련있는진 잘 모르겠지만, 추가적으로 이야기를 해보자면..
    실제 공도벡터 고난도 문제를 가만 살펴보시면요
    꼭 정형화 되어있는 건 아니지만, 지금까지 출제되었던 모의고사 문제들로 미루어보았을 때
    크게 두 가지로 나뉘어져요
    1. 정확한 좌표의 위치 관계를 따져야 하는 문제
    2. 주어지는 평면, 구, 점, 선분, 직선의 상대적인 위치 파악으로 푸는 문제
    그래서 단순히 도형의 방향만 주어진 경우는 2번에 해당하는 문제일 가능성이 높을 거 같아요
    요약하자면, 공간좌표상에 어떤 위치로 놓여있는지는 알 필요가 없고, 다른 개념을 사용해서 해결해야하는 문제일 가능성이 높다는 거죠..
    물론 모든 문제가 제 머릿속에 있는 건 절.대. 아니므로
    이과지방치님이 물어보신 대략적 위치 파악이 필요한 문제도 있을 수 있겠죠? ㅎㅎ

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  • 이과지방치 · 410085 · 12/10/12 00:33

    아네요 ㅠ

    정말 도움 많이 되고 있습니다.

    한가지 더 궁금한게 있는데

    평면이나 직선의 법선벡터나 방향벡터가 주어지면

    공간좌표상에서 기울어진정도도 대략 파악이 가능하나요?

    문제를 편하게 가져가려면 이것두 상상해야되는

    문제들도 있더라구요.

    공간상에서 기울어짐이라고 하니까 이상한데

    예를 들면 이차원 직선에서 기울기를 삼차원으로

    확장시킨거요.

    제가 물어보는게 고난도 문제에 적용되는 부분

    맞죠?

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  • 히융히융 · 394705 · 12/10/12 01:02 · MS 2011

    방향벡터가 주어지면 말씀하신 기울어진 정도를 정확하게 알 수 있습니다
    방향벡터의 정의가 바로 그 기울어짐의 방향을 나타내주는 거니까요

    공간좌표에서 방향벡터의 역할을 비유적으로 표현해보자면,
    팽팽하게 당겨진 실이 있고, 원 가운데 실이 들어갈 정도로 작은 구멍이 있는 동전을 상상해보시면요
    팽팽하게 당겨진 실이 어떤 '기울어진 정도'를 가지고 공간상에 고정되어 있다면
    그 실에다가 꿰어진 동전의 앞면이 향하는 방향은 실의 기울기 값에 따라 결정되겠죠?
    여기서 실의 기울기가 바로 방향벡터구요
    꿰어진 동전이 실의 어느 부분에 위치하느냐 (실의 1/2 부분인지, 실의 1/3 부분인지 등)를 결정짓는게
    한 점이 주어진다는 것의 의미에요

    따라서, 2차원 공간인 종이 위에다가 3차원 공간의 도형을 그려내는 연습을 좀 하시다보면
    방향벡터만 주어져도 대략 어떤 모습으로 기울어져 있는지 머릿속에 얼른 떠오르실 거 같아요ㅎㅎ

    고난도 문제에 해당하는 개념이냐는 질문은 .. 아마도 그림을 주지 않고 몇가지 단편적인 단서만 주고서
    문제를 해결하라는 유형을 말씀하시는거 같은데..
    유형따라 풀이법이 워낙 다르다보니 반드시 써먹는 개념이라고는 말씀 못드리겠어요
    물론 도움은 되겠지만.. 공도 고난도 문제는 평면. 직선 등의 위치 '관계'로 해결하는 문제가 많은 편이죠.. 정확한 위치가 아니라, 상대적인 관계로 해결하는 거요 ㅎㅎ

    헐 쓰고나니 엄청 기네요 ㅋㅋㅋㅋ 이번엔 지방치 님이 질문하신 바를 제가 제대로 짚었길... ㅎㅎ

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  • 이과지방치 · 410085 · 12/10/12 01:08

    넵~ ㅎ 댓글 감사합니다.

    실제로는 이면각이나 정사영 이런거 물어볼때

    말씀하신대로 직선과 평면의 위치관계, 수선의 발

    이런게 많이 쓰이더라구요.

    제가 여쭤본게 그나마 비슷한게 06수능에 있는 공도벡터

    문제들인거 같아요. 혹시 기억나시는지??

    구가 지나는 부분의 개수묻고 x축을 품는 평면벡터묻고

    그런거 있던거요.

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  • 히융히융 · 394705 · 12/10/12 01:16 · MS 2011

    아!!! 그거요 ㅋㅋㅋ
    제 기억엔 .. 구가 지나는 부분의 개수를 묻는 문제는, x y z 값에다가 각각 0을 대입해보고 푸는 방식이었던거 같은데 .. 공간좌표를 아예 안그리고 걍 푸는 문제..일거에요 지금 제가 기출 문제집을 딴데다 놔두고 와서 정확한 문제는 기억이 안나서 ;;;
    x축을 폼은 평면 벡터같은 경우는 말씀하신 '시각화'가 잘 되어있으면 훨씬 편한 유형이었던 걸로 기억해요 ㅎㅎ
    도서관에 책 놔두고 온게 아쉽네요 ㅠㅠ

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