[수학] 사관학교 현장 응시 전문항 리뷰

안녕하세요. 장시인입니다.

오늘 사관학교 시험이 있었죠. 저는 현장에서 응시하고 왔는데요. 난이도는 제가 잘 판단을 못해서, 어땠는지는 모르겠지만 확실히 문제 퀄리티가 시중 N제보다는 훨씬 좋았습니다.

저는 수능 대비로 치러 본 거라서 마킹은 하지 않았습니다.

그럼 1번부터 전반적인 문항 코멘트 들어가겠습니다.

1번. 그냥 계산 문제였지만 평가원보다는 어려웠습니다.

옆 분들이 페이지를 빨리 넘기셔서, 괜히 조급했네요.

2번. 무한대 극한 최고차항 판단 문제였습니다.

다항함수라고 안 줬지만, 그냥 두고 풀어도 되는 문제여서 두고 풀었습니다.

안 되는 경우에는 위아래 x로 나누고 풀면 됩니다.

3번. 계산 때렸습니다. 쉬운 풀이 있으면 알려주세요.

4번. 마찬가지로 미분계수 조건 쓰고 함숫값 0 되는 거 이용하고. 계산입니다.

5번. 삼각함수 계산 문제였고 부호 판단에서 실수가 생기실 수 있습니다. 

6번. 도함수에서 적분해서 상수 결정하는 쉬운 문제였습니다.

7번. 여기부터 난이도가 조금씩 올랐는데, 분모가 7이고 분자가 홀수인 기약분수들 중에 범위 내에 있는 수들의 합을 구하는 문제입니다. 홀수를 쭉 나열하시면 되는데, 7의 배수이자 홀수인 경우에는 기약분수 형태가 아니기 때문에 제외해 줍니다. 이 부분이 가장 중요하고요. 이후에는 쭉 나열해서 저는 수열로 보고 등차중항을 개수배 해서 합을 구했습니다. 답은 120이고요.

8번. 7번보다 더 쉬웠습니다. 교점 구하고 적분을 하되, 어떤 함수가 위인지 잘 구별해주시고요. -1부터 1까지 적분할 때는 구간이 대칭이므로 홀수 차는 지우고 짝수 차는 2배해서 계산하면 편리합니다.

9번. 도형인데 4점 초반부라서 그런가 어렵진 않았습니다. 안 보이셨으면 어려우셨을 수도 있지만...

변 다 표시하고, 조건대로 각 써주고 하면 60 120도에서 합이 180도가 바로 보입니다. 그러면 굳이 덧셈정리를 쓰지 않아도 공통 교육과정 내에서 해결할 수 있는 각이 나오죠.

180 - 각이므로 코사인 부호만 바꿔 주고 코사인 법칙 써주면 끝.

10번. 미분해서 -1 넣어서 0 해주고, -1 그대로 넣어서 0 해주면 a와 b가 나옵니다. 단순 계산이네요.

11번. 저는 우선 합성함수로 보고 그래프를 그렸어요. 절댓값 그래프와 지수함수를 그리고, n축 개념으로 전체 함수의 그래프를 스무스하게 만들어 줬습니다. 이후에는 x축과 만나는 두 점의 좌표를 잡고, p와 q는 그래프가 이미 그려져 있었기에 쉽게 판단이 가능했습니다. 뭔가 마지막에 물어보는 게 조금 아쉬웠던 문제입니다.

12번. 0에서 미분가능하고, 미분계수 -4까지 조건 두 개를 줬어요. 연속을 확정해주고, 미분가능은 미분해보니 이미 미분가능해서 패스. 대신 미분계수를 이용해서 프라임 값이 0인 것을 구했네요. 그러면 이차함수 식을 세워줄 수 있고 나머지는 개형 파악하면서, 원점 대칭한 함수가 0 이후로는 위아래로만 이동하면서 붙어 있는 건데 극소가 0이다? 그러면 -2에서 극대였으니 2에서 0을 지나면서 극소면 되겠네요. 계산해보면 a는 8이고, 대입해 주면 -28로 깔끔하게 나옵니다. 문제 좋았습니다.

13번. 맨날 나오는 Sn - Sn-1 문제가 나왔네요. 15번에 수열이 없던 대신 이 유형에서 조금 더 물어보더라고요.

정석대로 나열해 주고, 당연히 이웃하는 항들로 정의되어 있으니까 규칙성(주기성)이 있겠다고 생각했구요. 2번째 항을 미지수로 잡았는데, 6을 주기로 반복되는 것을 발견했습니다. 20은 6으로 나누면 나머지가 2니까, k는 1.

구하는 값이 50까지 합이니까 주기성 이용해서 앞부분 0 만들어 주고, 뒤에 딱 두 개 남는 항들 합은 -2가 됩니다.

14번. 저도 처음에 구해 놓고 긴가민가했는데요.

답이 ㄱ입니다.

문제 자체는 어렵지는 않았어요. 선지 따라가면서 0에서 연속 그냥 숫자 넣어 보고 판단.

k=4일 때, -2, 0, 2에서 근을 갖고 연속이 되기 위해서는 a 혹은 a+1의 해당 좌표에서 0이 되어야 하니까 둘 중 하나만 0 되는 상황을 연출해주면 끝이죠. 그러면 -3부터 2까지 총 6개가 나오구요.

ㄷ 판단이 한 경우를 빼먹는 실수를 할 수가 있는데, a와 a+1이 둘 다 0이 되는 경우는 루트 k와 0이나 -루트 k나 0에 걸치는 경우 말고도 -루트 k와 루트 k에 걸치는 경우, 즉 총 세 가지가 있습니다.

당연히 순서쌍도... 3가지가 나오게 되고요.

이 문제는 그림을 잘 그려 놨으니까 꼭 참고하시기 바랍니다.

15번. 대망의 15번은 수열이 아니라 로그함수 그래프 문제였는데요. 요즘 자주 나오는 지수로그인 척 하는 논증기하/해석기하 문제. 장시인 N제도 이런 문제들 많이 준비하고 있습니다.

a, b를 통해 x좌표 표현하고, 조건 이용하면 a는 거저 나옵니다. 이후 평행하다고 했으니 그냥 기울기 같다 쓰면 되네요.

계산해 보면 b가 두 개가 가능한데, 하나는 1로 a와 같으니 조건에 위배. 답은 5+3루트3입니다.

16번. 계산 문제였는데 a^2과 a^-2이 두 값 교차가 가능한 형태입니다.

계산해주면 됩니다.

17번. 미분하고 넣고, 함숫값 구하고, 접선 구하고. 계산이 반입니다.

18번은 계산 미스로 제가 틀려 버렸습니다 ㅎㅎ;

요것도 그냥 시그마 성질 써서 계산 해주면 됩니다.

넘어갈게요.

19번. 보기 편하게 7만 넘긴 다음 함수 그래프 그려 주고, 1보다 크다는 조건과 극소보다 커야 한다는 것 이용하면 n은 3, 4, 5만 가능하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

20번. 속도와 가속도 문제인데 이건 진짜 계산밖에 없었습니다.

21번. 그래프 잘 그려 주면 세 점이 보입니다. 지름이라고 했고 반지름이 1이네요. 그러면 2가 코사인의 주기니까 b를 결정할 수 있습니다. 남은 건 a 결정인데, b를 넣어 주고 tan와 cos을 연립해주면 x좌표들을 구할 수 있습니다. 그럼 중심 좌표도 당연히 설정이 가능하고요. 중심과 A2를 알았으니, 점과 점 사이의 거리를 사용하면 a를 구할 수 있네요. 21번 치고는 접근하기 쉬웠습니다.

22번. 조건을 조금 다르게 포장하긴 했지만 결국은 양의 실수로 수렴한다는 건 우미계와 좌미계 곱이 음수라는 건데, 미분가능하면 같으니까 양수거나 0이므로 결국 미분불가능한 점이라는 겁니다. 그게 하나면 이차함수 두 근 중 하나는 0과 겹치게 되죠. 중근이면 아예 안 생기고요. 개형 두 개 그려주면 (나) 조건으로 하나 정해집니다. 킬러 문항 배제가 반영된 건지, 6모 22번보다 쉬운 난이도로 생각됩니다.

저는 현장에서 미적분을 응시했습니다.

다른 과목은 어땠는지 몰라도 미적분은 평이하고 문제 질이 당연히 나쁘지 않았습니다.

23번. 계산인데 공통보다 간단했습니다.

24번. 시그마를 적분 꼴로 유려하게 바꿔서 표현하기. 이것도 단순 계산.

25번. y에 0 넣고, 미분해서 계산해주면 되는데 계산을 이상하게 해서 조금 걸렸네요.

26번. 프랙탈인데 그다지 어렵지는 않았습니다. 계산도 깔끔해서 제가 잘못 구한 줄 알았어요.

첫째항은 특수각 이용하고, 삼등분인 거 이용해서 구하고 공비는 45도 이용하시면 됩니다.

27번. 부피 계산입니다. 치환적분으로 적분값 구해줬습니다.

28번. 이건 꽤 복잡했는데, 함숫값과 미분계수로 식 각각 하나씩 세워 주고, 이 a와 b가 상수가 아니라서, 미분했을 때 지워지지 않습니다. 그걸 유념하면서 차분히 하나하나 넣어 주면 k가 3이란 게 나온 뒤부터는 빠르게 풀렸던 것 같습니다.

29번. 삼도극인데, 28번이 더 어렵지 않았나 생각이 듭니다.

30번. 적분해서 (나) 조건으로 적분상수와 미지수 하나를 결정해줍니다.

g(t)가 함수 딱 반 잘랐을 때 왼쪽 함수의 역함수인데, 해당 그래프를 그려 보았으나 결국 구하는 부분이 둘러싸인 부분 넓이여서.. 대단한 걸 묻지는 않았네요.

직사각형과 적분할 구간으로 나누고 부분적분으로 해결했습니다.

전반적으로 문항들 괜찮았고, 수능을 대비하는 시험 삼아 나쁘지 않았습니다.

현장에서 안 보셨으면 집에서 시간 재고 풀어 보시는 것도 좋을 듯합니다.

오늘 저녁에는 장시인 X 소우주 콜라보 모의고사가 배포됩니다. 많은 관심 부탁드려요.